Showing posts with label Mathematics. Show all posts
Showing posts with label Mathematics. Show all posts

Convex Function - Definition and Properties

Định nghĩa (tập lồi): Tập X\subset \mathbb{R}^n gọi là tập lồi nếu

x,y\in X\Rightarrow \lambda x+(1-\lambda)y\in X, \forall \lambda\in [0,1]

Nghĩa là nếu x,y\in X thì đoạn thẳng \left[x,y\right]\in X.

Định nghĩa (tập affine): Tập X\subset \mathbb{R}^n gọi là tập affine nếu

x,y\in X\Rightarrow \lambda x+(1-\lambda)y\in X, \forall \lambda\in\mathbb{R}

Nghĩa là nếu x,y\in X thì đường thẳng đi qua x,y cũng nằm trong X.

Định lý (Tính chất của tập affine):
  1. Tập affine là tập lồi
  2. Nếu X affine vàa\in X, tập L=\{y:\exists x\in X, y=x-a\} là không gian con của \mathbb{R}^n=X-a, đồng thời L là duy nhất đối với X không phụ thuộc vào a. Ta cũng viết X=a+L.
  3. Tập X là tập affine nếu và chỉ nếu \exists A,b sao cho X=\{x:Ax=b\}.
Định nghĩa (tổ hợp lồi): Tổ hợp tuyến tính \displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i gọi là tổ hợp lồi của x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}^n nếu
\lambda_i\geq 0,\forall i, \displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i=1

Định nghĩa (hàm lồi): Hàm f trên \mathbb{R}^n lồi nếu
  • Miền xác định \mathrm{Dom}f lồi.
  • x,y\in \mathrm{Dom}f: f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y) (*)
Định lý (Bất đẳng thức Jensen): Nếu f lồi và x_i\in\mathrm{Dom}f,\lambda_i\geq 0,\sum_{i=1}^n\lambda_i=1
\sum_{i=1}^n f(\lambda_i x_i)\leq\sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i)


Ref: http://csstudyfun.wordpress.com
Subscribe to: Posts (Atom)