Share to learn: Convex Function - Definition and Properties

Convex Function - Definition and Properties

Định nghĩa (tập lồi): Tập $X\subset \mathbb{R}^n$ gọi là tập lồi nếu

$x,y\in X\Rightarrow \lambda x+(1-\lambda)y\in X, \forall \lambda\in [0,1]$

Nghĩa là nếu $x,y\in X$ thì đoạn thẳng $\left[x,y\right]\in X$ .

Định nghĩa (tập affine): Tập $X\subset \mathbb{R}^n$ gọi là tập affine nếu

$x,y\in X\Rightarrow \lambda x+(1-\lambda)y\in X, \forall \lambda\in\mathbb{R}$

Nghĩa là nếu $x,y\in X$ thì đường thẳng đi qua $x,y$ cũng nằm trong $X$ .

Định lý (Tính chất của tập affine):

Tập affine là tập lồi
Nếu $X$ affine và $a\in X$ , tập $L=\{y:\exists x\in X, y=x-a\}$ là không gian con của $\mathbb{R}^n=X-a$ , đồng thời $L$ là duy nhất đối với $X$ không phụ thuộc vào $a$ . Ta cũng viết $X=a+L$ .
Tập $X$ là tập affine nếu và chỉ nếu $\exists A,b$ sao cho $X=\{x:Ax=b\}$ .

Định nghĩa (tổ hợp lồi): Tổ hợp tuyến tính $\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i x_i$ gọi là tổ hợp lồi của $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}^n$ nếu

$\lambda_i\geq 0,\forall i, \displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$

Định nghĩa (hàm lồi): Hàm $f$ trên $\mathbb{R}^n$ lồi nếu

Miền xác định $\mathrm{Dom}f$ lồi.
$x,y\in \mathrm{Dom}f: f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq\lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)$ (*)

Định lý (Bất đẳng thức Jensen): Nếu $f$ lồi và $x_i\in\mathrm{Dom}f,\lambda_i\geq 0,\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$

$\sum_{i=1}^n f(\lambda_i x_i)\leq\sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i)$

Ref: http://csstudyfun.wordpress.com